Julie Déserti

Maître de conférences

GROUPES ET GÉOMÉTRIE, Master 2 MF, 2019-2020



MODALITÉS D'ÉVALUATION

Partiels les 4/11 et 20/12 (1h30 chacun)

Colles les 10/10 et 7/11

La note d'UE2 est calculée comme suit: Partiel1/3+Partiel2/3+(Colle1+Colle2)/3


NOTES DE COURS (malgré les relectures ces notes manuscrites sont susceptibles de comporter des coquilles)


FEUILLES D'EXERCICES

Feuille 1

Éléments de correction

Feuille 2

Éléments de correction

Feuille 3

Éléments de correction

Feuille 4

Éléments de correction

Feuille 5

Feuille 6


FICHES THEMATIQUES:

Géométrie

Polynômes irréductibles, corps de rupture

Groupes

Représentations de groupes


PARTIELS ET ÉLÉMENTS DE CORRECTION

Partiel novembre

Éléments de correction du partiel de novembre

Partiel décembre

Éléments de correction du partiel de décembre


DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

Série 1

Série 2

Série 3

Série 4

Série 5

Les références sont les suivantes :
F. Combes, algèbre et géométrie
A. Ducros, cours de Master 1, Groupes finis et représentations
X. Gourdon, Les maths en tête, Algèbre
J.-E. Rombaldi, Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie.


PROGRESSION:

Vendredi 6 septembre (2 séances): Notions de groupes, sous-groupes, sous-groupes propres, sous-groupes engendrés par une partie, groupe monogène, nombreux exemples, étude des sous-groupes de $\mathbb{Z}$, rappels sur le groupe symétrique.

Lundi 9 septembre: étude du groupe symétrique (démonstration de la décomposition en produit de cycles à supports deux à deux disjoints, inversion, signature), notions de groupe fini, d'ordre, de groupe cyclique, de centre d'un groupe, exemple: centre du groupe symétrique

Mardi 10 septembre: feuille 1, exercices 3, 6, 14, 29, 30, 41, 42.

Vendredi 13 septembre (2 séances): feuille 1, exercices 17, 20, 22. Notions de morphisme de groupes, noyau, image, exemples, morphisme de groupes injectif, isomorphisme, étude des groupes monogènes, actions de groupes, actions par translation, actions par conjugaison, théorème de Cayley.

Lundi 16 septembre: feuille 1, exercices 38, 39, 11, 19a), 19b) (le 25 a été fait en UE1A).

Vendredi 20 septembre: feuille 1, exercice 19c); feuille 1, exercice 15 (=étude de $\mathrm{Aut}\Big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\Big)$). Notions de sous-groupe distingué, groupe quotient, théorème d'isomorphisme.

Lundi 23 septembre: feuille 2, exercice 12 (=théorème de Wedderburn); feuille 1, début de l'exercice 11 (=début de la démonstration de l'isomorphisme entre $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})/\{\pm\mathrm{Id}\}$ et $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$).

Lundi 30 septembre: feuille 1, fin de l'exercice 1 (=démonstration de l'isomorphisme entre $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})/\{\pm\mathrm{Id}\}$ et $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$); feuille 3, exercice 14 (=isomorphismes $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_2)\simeq\mathcal{S}_3$, $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_3)\simeq\mathcal{A}_4$, $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_4)\simeq\mathcal{A}_5$, $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_5)\simeq\mathcal{A}_5$).

Vendredi 4 octobre: produit semi-direct (définition + caractérisation), caractérisation des produits directs parmi les produits semi-directs, nombreux exemples.

Lundi 7 octobre: feuille 2, exercices 18, 19 et 20; feuille 1, exercices 10 et 18a), 18b).

Vendredi 11 octobre: Théorèmes de Sylow et applications dont l'étude des groupes d'ordre $pq$.

Lundi 14 octobre: étude des automorphismes de $\mathcal{S}_n$ (démonstration du fait que si $n\geq 3$ et $n\not=6$, alors $\mathrm{Aut}(\mathcal{S}_n)=\mathrm{Int}(\mathcal{S}_n)\simeq\mathcal{S}_n$ et construction d'un automorphisme extérieur de $\mathcal{S}_6$, version 1).

Lundi 21 octobre: construction d'un automorphisme extérieur de $\mathcal{S}_6$, version 2 et démonstration de "$\mathcal{A}_n$ est simple dès que $n\geq 5$".

Mardi 22 octobre: feuille 4, exercices 12 et 14b)

Vendredi 25 octobre (2 séances): un peu de géométrie projective, feuille 4 exercice 14c)

feuille 4, exercices 6, 2, 18, 21, 10

Lundi 4 novembre: partiel.

Vendredi 8 novembre: début du chapitre Géométrie: isométries euclidiennes en dimension $n$, isométries euclidiennes en dimension $2$, isométries euclidiennes en dimension $3$, définition de polyèdre convexe, définition de polyèdre convexe régulier, définition du symbole de Schlafli.

Vendredi 15 novembre: liste des polyèdres convexes réguliers, description de leurs groupes d'isométries, classification des sous-groupes finis de $\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$, esquisse de démonstration de la classification des sous-groupes finis de $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$.

Lundi 18 novembre: début du chapitre Groupes abéliens de type fini: notions de groupe abélien de type fini, groupe abélien libre de type fini, rang d'un groupe abélien libre de type fini; démonstration du théorème "un sous-groupe d'un groupe libre de rang $r$ est libre et son rang est majoré par $r$"; notion de facteurs invariants.

Vendredi 22 novembre: fin du chapitre Groupes abéliens de type fini. Feuille 6, exercice 6.

Vendredi 29 novembre: feuille 6, exercices 2, 7, 8, 9, 13, 15, 17, 24.

Lundi 2 décembre: Début du chapitre 4: représentations des groupes. Définition de représentation, de représentation fidèle, nombreux exemples (représentation triviale, représentation standard, représentation de permutation, représentation régulière, représentations de $\mathbb{Z}$, représentations de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, somme directe de représentations, représentation $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$, contragrédiente). Définition de dimension/degré, de sous-représentation, exemples (en particulier le groupe diédral).

Vendredi 6 décembre: Définition de dimension/degré d'une représentation, de sous-représentation, de sous-espace-$\mathrm{G}$-invariant, de représentation irréductible, nombreux exemples.

Lundi 9 décembre: supplémentaire $\mathrm{G}$-invariant: définition, exemple, résultat d'existence; décomposition d'une représentation en somme de représentations irréductibles; caractère: définition, nombreux exemples; fonctions centrales.

Vendredi 13 décembre: table de caractères: définition, généralités, exemples (groupes cycliques et $\mathcal{S}_3$)..

Lundi 16 décembre: partiel.

Mardi 11 février: groupes libres, groupes définis par générateurs et relations.