Julie Déserti
Maître de conférences
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Cours spécialisés
ANR Foliage
ANR Fatou
Cremona
37 ans Dominique Cerveau
GROUPES ET GÉOMÉTRIE
,
Master 1 MF-MPA
, 2019-2020
PROGRAMME
:
Théorie des groupes: rappels, exemples: actions de groupes, groupes libres, générateurs, groupes abéliens de type fini, théorèmes de Sylow.
Géométrie affine et convexe: géométrie affine, convexité, polyèdre, polytopes.
MODALITÉS D'ÉVALUATION
:
2 contrôles continus
Examen final (3h)
NOTES DE COURS
(malgré les relectures ces notes sont susceptibles de comporter des coquilles)
FEUILLES D'EXERCICES
:
Révisions
Feuille 1
Éléments de correction
Feuille 2
Éléments de correction
Feuille 3
Éléments de correction
Feuille 4
Éléments de correction
Feuille 5
Éléments de correction
Feuille 6
Feuille d'exercices sur les produits semi-directs
Éléments de correction
Feuille d'exercices sur les groupes libres
Éléments de correction
Séances de révisions
Éléments de correction
PARTIELS ET ÉLÉMENTS DE CORRECTION
:
Partiel octobre
Éléments de correction du partiel d'octobre
Partiel décembre
Éléments de correction du partiel de décembre
DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
:
Série 1
Série 2
Série 3
Série 4
Série 5
Les références sont les suivantes:
F. Combes, algèbre et géométrie
A. Ducros, cours de Master 1, Groupes finis et représentations
X. Gourdon, Les maths en tête, Algèbre
D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses
J.-E. Rombaldi, Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie.
A. Szpirglas, exercices d'algèbre.
PROGRESSION
:
Mercredi 11 septembre (2 séances): Notions de groupes, sous-groupes, sous-groupes propres, sous-groupes engendrés par une partie, groupe monogène, nombreux exemples, étude des sous-groupes de $\mathbb{Z}$, notions de groupe fini, d'ordre, de groupe cyclique, de centre d'un groupe, de morphisme de groupes, de noyau, d'image, d'isomorphisme de groupes, théorème de Lagrange, actions de groupes, théorème de Cayley, notion de groupe dérivé.
Mercredi 18 septembre (2 séances): Feuille 1, exercices 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21.
Vendredi 20 septembre: notions de sous-groupe distingué, groupe quotient, groupe caractéristique, groupe simple, théorème d'isomorphisme, isomorphisme entre $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})/\{\pm\mathrm{Id}\}$ et $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$.
Mercredi 25 septembre (2 séances):
première séance: étude du groupe symétrique.
seconde séance: feuille 1, exercices 17, 22, 23 et 25; feuille 2, exercices 1, 7 et 9.
Vendredi 27 septembre: feuille 2, exercices 2, 4, 8, 25.
Mercredi 2 octobre (2 séances): feuille 2, exercices 3, 15, 17, 28. Notions de groupes libres, générateurs, relations, produits directs, produits semi-directs.
Vendredi 4 octobre: produits direct et semi-direct, nombreux exemples.
Mercredi 9 octobre (2 séances): première séance: début de la feuille 3.
seconde séance: Théorèmes de Sylow.
Vendredi 11 octobre: feuille 2, exercices 5, 6, 12, 22.
Mercredi 16 octobre (2 séances): feuille 4, exercices 1, 3, 4, 5, 6, 7, 11(3), 16.
Vendredi 18 octobre: feuille 4, exercices 14, 15 et 17.
Mercredi 23 octobre (2 séances): première séance: premier devoir surveillé.
seconde séance: feuille 4, exercices 18 et 21a), 21b), 21c).
Vendredi 25 octobre: fin de la feuille 3.
Mercredi 6 novembre (2 séances): début du chapitre Géométrie: isométries euclidiennes en dimension $n$, isométries euclidiennes en dimension $2$, isométries euclidiennes en dimension $3$, début de la démonstration du théorème "Le groupe $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ est simple".
Vendredi 8 novembre: Feuille 4, exercice 2 Ia), Ib), Ic), Id), Ie), If), Ig), Ii).
Mercredi 13 novembre (2 séances): première séance: feuille d'exercices sur les produits semi-directs
seconde séance: fin de la démonstration du théorème "Le groupe $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ est simple", définitions de polyèdre convexe, arètes, sommets, polyèdre convexe régulier, symbole de Schlafli, liste des polyèdres réguliers.
Vendredi 15 novembre: Feuille 4, exercice 2 I)h), II)a), II)b), II)c), II)d).
Mercredi 20 novembre (2 séances): première séance: Feuille 5, exercices 2, 8, 9, 10, 11, 19.
seconde séance: description du groupe d'isométries/d'isométries directes du tétraèdre régulier, description du groupe d'isométries/d'isométries directes du cube et donc par dualité de l'octaèdre régulier, description du groupe d'isométries/d'isométries directes du dodécaèdre et donc par dualité de l'icosaèdre régulier. Définitions d'espace affine, de la direction d'un espace affine, de la dimension d'un espace affine, de sous-espace affine, de sous-espaces affines parallèles, de vectorialisé, d'application affine. Relation de Chasles, démonstration du fait que les applications affines préservent l'alignement.
Vendredi 22 novembre: Feuille 5, exercices 20, 23, 24, 25.
Mercredi 27 novembre (2 séances): première séance: suite de la feuille d'exercices sur les produits semi-directs.
seconde séance: fin du chapitre Géométrie:.
Vendredi 29 novembre: Feuille 5, exercices 4, 5, 22.1., 22.2, 22.3.
Mercredi 4 décembre (2 séances): première séance: second devoir surveillé.
seconde séance: Début du chapitre 4: représentations des groupes. Définition de représentation, de représentation fidèle, nombreux exemples (représentation triviale, représentation standard, représentation de permutation, représentation régulière, représentations de $\mathbb{Z}$, représentations de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, somme directe de représentations, représentation $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$, contragrédiente).
Vendredi 6 décembre: Définition de dimension/degré d'une représentation, de sous-représentation, de sous-espace-$\mathrm{G}$-invariant, de représentation irréductible, nombreux exemples.
Mercredi 11 décembre (2 séances): première séance: .
seconde séance: supplémentaire $\mathrm{G}$-invariant: définition, exemple, résultat d'existence; décomposition d'une représentation en somme de représentations irréductibles; caractère: définition, nombreux exemples; fonctions centrales.
Vendredi 13 décembre: table de caractères: définition, généralités, exemples (groupes cycliques et $\mathcal{S}_3$).
Mercredi 18 décembre (2 séances): première séance: table de caractères de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
seconde séance: feuille 6, exercices 1, 4, 6, 30.
Mardi 7 janvier: retour sur le premier partiel, feuille "s´ances de révisions".
Mercredi 8 janvier: retour sur le second partiel, feuille "s´ances de révisions".